В машиностроительных чертежах используется метод прямоугольных проекций. Поэтому дальнейшее изучение курса будем вести, используя метод ортогонального проецирования.

Чтобы однозначно решить две основные задачи курса начертательной геометрии, чертежи должны удовлетворять следующим требованиям:

1. Простота и наглядность;

2. Обратимость чертежа.

Рассмотренные методы проецирования с использованием однокартинных чертежей позволяют решать прямую задачу (т.е. по данному оригиналу построить его проекцию). Однако, обратную задачу (т.е. по проекции воспроизвести оригинал) решить однозначно невозможно. Эта задача допускает бесчисленное множество решений, т.к. каждую точку А 1 плоскости проекций П 1 можно считать проекцией любой точки проецирующего луча l А , проходящего через А 1 . Таким образом, рассмотренные однокартинные чертежи не обладают свойством обратимости .

Для получения обратимых однокартинных чертежей их дополняют необходимыми данными. Существуют различные способы такого дополнения. Например, чертежи с числовыми отметками.

Способ заключается в том, что наряду с проекцией точки А 1 задаётся высота точки, т.е. её расстояние от плоскости проекций. Задают, также, масштаб. Такой способ используется в строительстве, архитектуре, геодезии и т. д. Однако, он не является универсальным для создания чертежей сложных пространственных форм.

В 1798 году французский геометр-инженер Гаспар Монж обобщил накопленные к этому времени теоретические знания и опыт и впервые дал научное обоснование общего метода построения изображений, предложив рассматривать плоский чертёж, состоящий из двух проекций, как результат совмещения двух взаимно перпендикулярных плоскостей проекций. Отсюда ведёт начало принцип построения чертежей, которым мы пользуемся и поныне.

Поставим перед собой задачу построить проекции отрезка на две взаимно перпендикулярные плоскости проекций П 1 и П 2 .

1. Пространственная модель.

П 1 ^ П 2 . AA 1 ^ П 1 ; |AA 1 | - расстояние от А до П 1 .

AA 2 ^ П 2 ; |AA 2 | - расстояние от А до П 2 .

П 1 - горизонтальная плоскость проекций;

П 2 - фронтальная плоскость проекций.

А 1 В 1 - горизонтальная проекция отрезка;

А 2 В 2 - фронтальная проекция отрезка.

х 12 - линия пересечения плоскостей проекций.

Однако, в таком виде чертёж неудобно читать. Поэтому Гаспар Монж предложил совместить эти плоскости проекций, причём, П принимается за плоскость чертежа, а П - поворачивается до совмещения с П 2 . Такой чертёж называется комплексным чертежом.

2. Плоская модель.

Рассмотрим совмещение плоскостей проекций со всем их содержимым на плоском чертеже. Совокупность проекций множества точек пространства на П 1 называется горизонтальным полем проекций, а на П 2 - фронтальным полем проекций.

х 12 - ось проекций, база отсчёта.

А 1 А 2 , В 1 В 2 Þ линия связи - это прямая, соединяющая две проекции точки на комплексном чертеже. Линия связи перпендикулярна оси проекций.

Свойства двухкартинного комплексного чертежа Монжа:

1. Две проекции точки всегда лежат на одной линии связи установленного направления.

2. Все линии связи одного установленного направления параллельны между собой.

3. Безосный чертёж.

Если совмещённые плоскости П 1 и П 2 перемещать параллельно самим себе на произвольные расстояния (см. положение осей х 12 , х 12 1 , х 12 11 на рис. 1-17), то будут меняться расстояния от фигуры до плоскостей проекций.

Однако, сами проекции фигуры (в данном случае - отрезка АВ ) при параллельном перемещении плоскостей проекций не меняются (согласно 7 свойству параллельного проецирования).

Из рис. 1-17 видно. что при любом положении оси х , величины D Z - разность расстояний от концов отрезка до П 1 , и Dy -разность расстояний от концов отрезка до П 2 , остаются неизменными. Поэтому нет необходимости указывать положение оси х 12 на комплексном чертеже и тем самым предопределять положение плоскостей проекций П 1 и П 2 в пространстве.

Это обстоятельство имеет место в чертежах, применяющихся в технике, и такой чертёж называется безосным .

Проиллюстрируем вышесказанное на конкретном примере.

Задача: Составить чертёж для изготовления стола (рис. 1-18).

1.Построить три проекции стола, учитывая свойства эпюра Монжа.

2. Что не хватает для выполнения по чертежу данного изделия?

3. Да, конечно, размеров.

Теперь, когда есть три изображения изделия и его размеры, имеют ли значение для изготовления изделия расстояния от изделия до плоскостей проекций, т. е. привязка к осям x , y и z (размеры 1500, 2000, 2000 на чертеже).

Нет не имеют!

По данному чертежу изделие создается, а на каком расстоянии его установить от стен (П 2 ,П 3 ) - это уже другая задача.

Безосный чертеж позволяет, не привязываясь к осям, располагать изображения в удобном для исполнителя положении, но с соблюдением проекционной связи, т.е. построение чертежа происходит по законам, установленным Гаспаром Монжем

Эпюра монжа или комплексный чертеж — это чертеж, составленный из двух или более связанных между собой ортогональных проекций геометрической фигуры.

Пользоваться пространственным макетом для отображения ортогональных проекций геометрических фигур неудобно ввиду его громоздкости, а также из-за того, что при его переносе на лист бумаги, на плоскостях H и W происходит искажение формы и размеров проецируемой фигуры.
Поэтому вместо изображения на чертеже пространственного макета используется эпюра Монжа.

Эпюра Монжа получается преобразованием пространственного макета путем совмещения плоскостей H и W с фронтальной плоскостью проекций V:
— для совмещения плоскости H с V поворачиваем ее на 90 градусов вокруг оси x в направлении движения часовой стрелки. На рисунке, для наглядности, плоскость H повернута на угол чуть меньший 90 градусов, при этом ось y , принадлежащая горизонтальной плоскости проекции, после поворота совпадает с осью z ;
— после совмещения горизонтальной плоскости, поворачиваем вокруг оси z также на угол 90 градусов профильную плоскость в направлении противоположном движению часовой стрелки. При этом ось y , принадлежащая профильной плоскости проекции, после поворота совпадает с осью x .

После преобразования пространственный макет примет вид, показанный на рисунке. На этом рисунке указана также последовательность взаимного положения пол плоскостей проекций, так запись V указывает, что в этой части эпюра Монжа (ограниченного положительным направлением осей x и z ) ближе к нам находится верхняя левая пола фронтальной плоскости проекции V , за ней располагается задняя левая пола горизонтальной плоскости проекции H , далее следует верхняя задняя пола профильной плоскости W .

Так как плоскости не имеют границ, то в совмещенном положении (на эпюре) эти границы не показывают, нет необходимости оставлять надписи, указывающие положение пол плоскостей проекций. Излишне также напоминать, где отрицательное направление координатных осей. Тогда, в окончательном виде эпюра Монжа, заменяющая чертеж пространственного макета примет вид, показанный на рисунке.

Эпюра Монжа может быть выполнена с помощью:

— обычных чертежных инструментов и приспособлений:
Чертежные инструменты;
Чертежные принадлежности и приборы;
— Программы для построения (рисования) эпюра Монжа: Выполнение чертежа в графическом редакторе.

В качестве примера оформления эпюра Монжа предлагаем решение задачи на построение равнобедренного прямоугольного треугольника ABC:

— в черном цвете отображается известное по условию задачи;
— в зеленом цвете отображаются все построения которые ведут к решению задачи;
— в красном цвете отображается найденные искомые задачи.
По условию задачи заданы проекции треугольника ABC(A`B`C`, A»B»…»). Для решения задачи необходимо найти недостающую проекцию C».

Проекция геометрического объекта на одну плоскость, рассмотренная нами ранее, не дает полного и однозначного представления о форме геометрического объекта. Поэтому рассмотрим проецирование хотя бы на две взаимно перпендикулярные плоскости (рис. 1.2), одна из которых расположена горизонтально, а другая вертикально.

Несмотря на наглядность, с чертежом, изображенным на рис 1.2, а работать неудобно, т.к. горизонтальная плоскость на нем показана с искажением. Удобнее выполнять различные построения на чертеже, где плоскости проекций расположены в одной плоскости, а именно, плоскости чертежа. Для этого надо горизонтальную плоскость развернуть вокруг оси ОХ на 90 и совместить с фронтальной так, чтобы передняя пола горизонтальной плоскости ушла вниз, а задняя вверх. Этот метод предложил Г. Монж.

Рис. 1.2. Построение эпюра Монжа:

а) пространственная картина расположения проекций точки А; б) плоскостная картина расположения проекций точки А.

Поэтому чертеж, полученный таким образом (рис. 1.2, б), называется эпюром Монжа или комплексным чертежом.

Обычно двух проекций недостаточно, чтобы составить полное представление о рассматриваемом геометрическом объекте. Поэтому предлагается ввести третью плоскость проекций, ортогональную первым двум (рис.1. 3, а).

Рис. 1.3. Построение трехкартинного комплексного чертежа (эпюра Монжа):

а) пространственная модель плоскостей проекций; б) трехкартинный комплексный чертеж.

Тогда плоскость П 1 называется горизонтальной плоскостью проекций, П 2 - фронтальной плоскостью проекций (т.к. она расположена перед нами по фронту), П 3 - профильной плоскостью проекций (расположена в профиль по отношению к наблюдателю). Соответственно А 1 - горизонтальная проекция точки А , А 2 - фронтальная проекция точки А, А 3 - профильная проекция точки А .

Оси ОХ, О Y , OZ называются осями проекций. Они аналогичны координатным осям декартовой системы координат с той лишь разницей, что ось ОХ имеет положительное направление не вправо, а влево. Теперь, чтобы получить проекции в одной плоскости (плоскости чертежа) необходимо и профильную плоскость проекций развернуть до совмещения с фронтальной. Для этого ее нужно развернуть на 90 вокруг оси OZ , причем переднюю полу плоскости развернем вправо, а заднюю влево. В результате получим трехкартинный комплексный чертеж (эпюр Монжа), показанный на рис. 1.3, б. Так как ось О Y разворачивается вместе с двумя плоскостями П 1 и П 3 , то на комплексном чертеже ее изображают дважды.

Из этого следует важное правило взаимосвязи проекций. А именно, исходя из рис. 1.3, а, в математической форме его можно записать в виде: А 1 А x = ОА y = А z А 3 . Следовательно, в текстологическом виде оно звучит так: расстояние от горизонтальной проекции точки до оси ОХ равно расстоянию от профильной проекции указанной точки до оси О Z . Тогда по двум любым проекциям точки можно построить третью. Горизонтальную и фронтальную проекции точки А связывает вертикальная линия связи, а фронтальную и профильную проекции – горизонтальная.

В связи с тем, что комплексный чертеж представляет собой свернутую в плоскости модель пространства, на нем нельзя изобразить проецируемую точку (за исключением случаев, когда ее положение совпадает с одной из проекций). Исходя из этого, следует иметь в виду, что на комплексном чертеже мы оперируем не самими геометрическими объектами, а их проекциями.

ВВЕДЕНИЕ.......................................................................................................4

1 МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ.....................4

2 ПРИНЯТЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ..................................................................5

3 ТЕМА 1 КОМПЛЕКСНЫЙ ЧЕРТЕЖ МОНЖА(точка, прямая) .......6

3.1 Комплексный чертёж точки. ........ .............................................................6

Упражнения. ......................................................................................................6

Задачи. ................................................................................................................7

Примеры решения задач…………………………………..............................8

Тесты самоконтроля знаний………………………………..........................10

3.2 Комплексный чертеж прямой..................................................................11

Упражнения. .....................................................................................................11

Задачи. ...............................................................................................................12

Примеры решения задач………………………………….............................13

Тесты самоконтроля знаний……………………………...............................15

4 ТЕМА 2 КОМПЛЕКСНЫЙ ЧЕРТЕЖ МОНЖА (ПЛОСКОСТЬ)......17 ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕЙ

4.1 Комплексный чертёж плоскости............................................................17

Упражнения. …………….................................................................................17

Задачи. …...........................................................................................................19

Примеры решения задач…………………………………….........................21

Тесты самоконтроля знаний………………………………….......................21

4.2 Перпендикулярность прямых и плоскостей...........................................23

Упражнения. .....................................................................................................23

Задачи. …...........................................................................................................24

Примеры решения задач…………………………………….........................25

Тесты самоконтроля знаний………………………………….......................26

5 ТЕМА 3 Взаимное положение прямых И ПЛОСКОСТЕЙ

Упражнения. .....................................................................................................27

Задачи. ...............................................................................................................29

Примеры решения задач. .................................................................................30

Тесты самоконтроля знаний………………………………….......................31

6 ТЕМА 4 СПОСОБЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЧЕРТЕЖА.......................33

Упражнения. .....................................................................................................33

Задачи...............................................................................................................34

Примеры решения задач. ................................................................................36

Тесты самоконтроля знаний…………………………………......................38

7 ТЕМА 5 МНОГОГРАННЫЕ ПОВЕРХНОСТИ....................................40

Упражнения. .....................................................................................................40

Задачи. ...............................................................................................................41

Примеры решения задач. .................................................................................43

Тесты самоконтроля знаний...........................................................................44

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК………………..................................47

ПРИЛОЖЕНИЕ .................................................................................................47

ВВЕДЕНИЕ

Учебное пособие предназначено для лабораторных занятий по начертательной геометрии для студентов факультета землеустройства и лесного хозяйства (направления: 250700 - Ландшафтная архитектура, 250100 - Лесное дело).

Пособие используется студентами при самостоятельной подготовке к очередному занятию. Для этого он должен:

Изучить теоретический материал по заданной теме и ответить на вопросы самоконтроля;

Выполнить упражнения по заданной теме.

В начале занятия преподаватель проверяет теоретическую подготовку студентов и решение упражнений по заданной теме. В конце каждой темы рассматриваются примеры решения типовых задач . Приступая к решению упражнений новой темы, полезно ознакомиться с соответствующим примером и следовать ему в оформлении чертежа.

Пособие может быть использовано студентами также и для самоконтроля полученных знаний по тестам , приведенным в пособии после примеров решения типовых задач. Для этого он должен:

После каждого занятия ответить на тесты самоконтроля знаний, а по приведенным в приложении пособия ответам проверить правильность своих знаний.

В процессе работы с пособием студенты учатся практическим приемам, применяемым при решении задач, что позволяет им выработать навыки и умения самостоятельного их решения. По мере накопления этого опыта студенты начинают мыслить самостоятельно на профессиональном уровне, развивая при этом пространственное и логическое мышление.

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ И

ОФОРМЛЕНИЮ ЗАДАЧ

При решении задач необходимо руководствоваться следующими рекомендациями:

1. По данным проекциям геометрических фигур, составляющим исходные данные задачи, представить их форму и взаимное расположение в пространстве как по отношению друг к другу, так и относительно плоскостей проекций.

2. Наметить «пространственный» план решения задачи. На этой стадии решения следует обращаться к теоремам из курса элементарной геометрии разделы «Планиметрия» и «Стереометрия», а также к теоретическому материалу в учебниках и лекциях.

3. Определить алгоритм решения задачи, кратко записать последовательность графических построений, используя принятые обозначения.

4. Приступить к геометрическим построениям.

При графическом решении задачи точность ответа зависит не только от выбора правильного пути её решения, но и от точности выполнения геометрических построений. Поэтому, решая задачу, необходимо пользоваться чертёжными инструментами. Задачи должны решаться в отдельной тетради в клетку для лабораторных занятий. Тип и толщина линий выполняются в соответствии с ГОСТ 2.303-68 ЕСКД. Построения выполняются карандашом. Для облегчения чтения чертежа, получающегося в процессе решения, целесообразно применять цветные карандаши: заданные элементы обводятся черным цветом, вспомогательные построения – синим, искомые элементы – красным. Эту же цель преследует обязательное обозначение всех точек и линий. При этом обозначение следует делать в процессе решения задачи сразу после проведения линии или определения точки пересечения линий. Надписи и буквенные обозначения выполнять стандартным шрифтом в соответствии с ГОСТ 2.304-84 ЕСКД.

Тетрадь с решенными задачами предъявляется преподавателю на зачете или экзамене.

ПРИНЯТЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ

А, В, С, D, …или 1, 2, 3, 4, … - обозначение точки; прописные буквы латинского алфавита или арабские цифры.

о – изображение точки (области расположения точки); круг диаметром 2-3 мм тонкой линией от руки.

a, b, c, d, … - линия в пространстве; строчные буквы латинского алфавита.

Γ, Σ, Δ,… - плоскости, поверхности; прописные буквы греческого алфавита.

α, β, γ, δ, … - углы; строчные буквы греческого алфавита.

П – плоскость проекций (картинная плоскость); прописная буква (пи) греческого алфавита.

АВ – прямая, проходящая через точки А и В .

[AB] – отрезок, ограниченный точками А и В .

[AB ) – луч, ограниченный точкой А и проходящий через точку В.

/AB /–натуральная величина отрезка[AB ] (равная оригиналу).

/Aа /–расстояние от точки А до линии а.

/AΣ /–расстояние от точки А до плоскости Σ .

/ab /–расстояние между линиями а и b.

/GD / - расстояние между поверхностями G и D.

≡- совпадение (А≡В – точки А и В совпадают).

║ - параллельны.

^ - перпендикулярны.

∩ - пересечение.

Î - принадлежит, является элементом множества.

ÐАВС – угол с вершиной в точке В.

Изображение знаков должно выполняться в соответствии с принятыми стандартами оформления технической и научной документации.

ТЕМА 1 КОМПЛЕКСНЫЙ ЧЕРТЕЖ МОНЖА

(ТОЧКА, ПРЯМАЯ)

Вопросы самоконтроля

1. Что называется проекцией точки?

2. Что называется осью проекций? Какие прямые линии называются «линиями связи» и как они расположены относительно оси проекций?

3. Можно восстановить положение точки в пространстве по ее проекциям?

4. Чем можно задать прямую линию на комплексном чертеже?

5. Какие прямые называются прямыми общего положения? Назовите прямые частного положения.

Методы проецирования, представленные в § 1.1, позволяют строить изображения (проекции) по заданному геометрическому образу (оригиналу), т.е. решать прямую задачу начертательной геометрии. Но в ряде случаев предусматривается решение обратной задачи, которая заключается в построении оригинала в пространстве по его проекциям на плоскости проекций.

Таким образом, приведенные выше проекционные чертежи (см. рис. 3, рис. 6, рис. 7, рис. 9) не позволяют восстановить оригинал, т.е. не обладают свойством «обратимости».

Рассмотрим схему построения обратимого чертежа, используемую в начертательной геометрии.

Ортогональное проецирование является частным случаем параллельного проецирования, когда направление проецирования перпендикулярно (ортогонально) плоскости проекций: S ^П i .

Ортогональное проецирование является основным в черчении, т.к. обладает большой наглядностью и позволяет при определенном расположении геометрических образов относительно плоскостей проекций сохранить ряд линейных и угловых параметров оригинала.

Французский геометр Гаспар Монж предложил ортогонально проецировать оригинал на две взаимно перпендикулярные плоскости проекций П 1 и П 2 .

Рис. 11 Рис. 12

П 1 – горизонтальная плоскость проекций; П 2 - фронтальная плоскость проекций; х = П 1 Ⴖ П 2 .

Плоскости проекций разделяют пространство на четыре четверти (или квадранты). Четверти нумеруются в порядке, указанном на рис. 11. Система координат выбрана из условия совпадения координатных плоскостей с плоскостями проекций. На рис. 12 показано проецирование точки А на плоскости П 1 и П 2 . Проецирующие лучи АА 1 и АА 2 перпендикулярны соответствующим плоскостям проекций, поэтому фронтальная (А 2 ) и горизонтальная (А 1 ) проекции точки А находятся на перпендикулярах А 1 А х и А 2 А х к оси проекций х.

Повернув плоскость проекций П 1 вокруг оси х на угол 90 0 (рис. 13), получим одну плоскость – плоскость чертежа, проекции А 1 и А 2 расположатся на одном перпендикуляре к оси проекций х – линии связи. В результате совмещения плоскостей проекций П 1 и П 2 получается чертеж, называемый эпюром Монжа. Эпюр Монжа называют в современной литературе еще комплексным чертежом. Это чертеж состоящий из двух и более связанных между собой проекций геометрического образа. В дальнейшем эпюр Монжа будем называть одним словом – чертеж.

Рис. 13 Рис. 14

Так как плоскости проекций безграничны, то чертеж точки А в системе П 1 /П 2 будет выглядеть так, как на рис. 14.

А 2 А х – расстояние от точки А до плоскости проекций П 1 ;

А 1 А х – расстояние от точки А до плоскости проекций П 2 .

Поэтому проекции точки А на две плоскости проекций полностью определяют ее положение в пространстве.

Для упрощения дальнейших рассуждений будем рассматривать лишь часть пространства, расположенную влево от профильной плоскости проекции П 3 .

П 3 – профильная плоскость проекций; Z = П 2 Ⴖ П 3 ; Z – ось ординат. Плоскость проекции П 3 перпендикулярна к П 1 П 2 .

На рис. 15 показано направление поворота на угол 90 0 плоскостей проекций П 3 и П 1 вокруг соответствующих осей координат до совмещения с П 2 .

Из рис. 15 видим, что ось Х делит горизонтальную плоскость проекций П 1 на две части: переднюю полу П 1 (оси Х и Y ) и заднюю полу П 1 (оси Х и Y ).

Ось абсцисс Х делит фронтальную плоскость проекций П 2 также на две части: верхнюю полу П 2 (оси Х и Z) и нижнюю полу (оси Х и -Z ).

Из рис. 15 видно, что точки, расположенные в различных четвертях пространства, имеют определенные знаки координат. Эти знаки приведены в таблице.

Построение проекций точки А в системе П 1 /П 2 /П 3 показано на рис. 17

Рис. 17 Рис. 18

ОА х – удаление точки А от профильной плоскости проекций;

А 3 – профильная проекция точки А ;

А 1 А х А 2 , А 2 А z А 3 – линии связи.

На чертеже фронтальная и профильная проекции точки лежат на одной линии связи, перпендикулярной к оси Z , причем профильная проекция находится на таком же расстоянии от оси Z , что и горизонтальная от оси Х: А z А 3 = А х А 1 .

Горизонтальная проекция точки А 1 определяется координатами Х и Y

фронтальная А 2 – координатами Х и Z , профильная П 3 – координатами Y и Z .

Относительно плоскостей проекций точка может занимать следующие положения:

1. Точка располагается в какой-либо четверти пространства, при этом обязательно условие, что Х ≠ 0; Y ≠ 0; Z ¹ 0.
2. Точка принадлежит какой-либо плоскости проекций, при условии, что одна из координат должна быть равна «0».

А Î П 1 , если Ζ = 0;

А Î П 2 , если Y = 0;

А Î П 3 , если Х = 0.

3. Точка принадлежит оси координат, если две любые координаты будут равны «0».

А Î Х, если Y = 0; Z = 0;

А Î U, если Х = 0; Z = 0;

А Î Z, если Х = 0; Y = 0.